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纯干货!“微分方程”的故事

2019-05-21 09:20
摔锅同学
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设想当初的数学家,怎样着手求解微分方程?这就是我要讲的微分方程的故事(纯属虚构)。在微分方程解法形成之前,估计要靠猜的。所谓“大胆假设、小心求证”,猜也是有讲究的。

下面左图是电容放电的电路,右式是其电路方程。这个方程要解在放电过程中,电容电压的时间函数。这个方程是要找一个函数,而不是找一个数值,这是微分方程与代数方程的区别。

这个微分方程的几何意义是,什么样的函数与其导函数线性叠加以后,可以恒等于0?  不妨作图,尝试几个初等函数,比如幂函数,三角函数,如何拼凑系数,使得导函数与原函数的组合恒等于0呢?你会发现尝试是徒劳的。如果是指数函数呢?似乎看到了希望,因为指数函数的导数仍然是指数函数,两个相同类型的函数的线性组合是可以恒等于0的。不妨可以:

指数函数显然不可能恒等于0,要上式成立,就得让括号内的式子等于0,于是有方程 RCp+1=0 ,这就是特征方程。(这个方程为什么叫特征方程,你可以联想一下《线性代数》里面的特征向量和特征值)。

由特征方程求出p,再将t=0代入就可以求出A,确定出两个参数,微分方程得解。把这个求解微分方程的过程封装起来,得到一阶电路分析的“三要素法”。求出三要素(初始值、稳态解、时间常数)代入“全响应公式”就可以解一阶电路,三要素和全响应公式都有很明确和直观的物理意义。所以,求解一阶电路,可以不必了解微分方程。

但是对于二阶电路呢,还有三要素法吗?听我继续讲微分方程的故事吧:

下面左图是二阶电路,右边列电路方程,得到二阶微分方程。

仍然可以:

有没有发现?假设好像出问题了。按此假设得到了两个解,这毕竟不是量子力学,还没轮到上帝来掷筛子的时候。先不要慌,假设如果错了,别急着推倒重来,不妨作点修补的努力吧,不妨:

这个修正很巧妙,把两个可能的解组合成一个解,创造出了“有解”且“解唯一”的条件。上面的待定系数(A1,A2,p1,p2)如果能求出来,二阶微方方程就得解了吗?

还有一个问题:特征方程没有实根怎么办?你能说RLC取某个参数时,电压实际不存在吗?然而通过实验发现,电压的波型不仅存在,而且有明显的规律。特征方程没有实根时,电容的电压波型大概是这样的:

指数函数作为解的解设被这个实验推翻了吗?这个实验似乎提醒了我们一个被忽略的事实:除了指数函数的导函数与原函数有相同型式,正弦函数似乎也有这个特性,只不过其不变性没有指数函数那么完美。正弦函数的一阶导数,仍然是同频率正弦函数,但是其相位相差了90度。正弦函数和其一阶导函数(两个相位差90度的正弦函数)是不可能组合成0的。但是,二阶导函数就不一样了,两次相差90度就是180度,相当于加个负号,也就是说正弦函数的二阶导函数与原函数的形式完全一样。

如果数学家当时正为此迷惑时,我想欧拉已经提出了著名的欧拉公式了。

其几何意义,在复平面上容易画出来。原来,实数域的指数函数和正弦函数,放在复数域讨论,其实都是复指数函数。又一次危机化解了,刚才的修正假设不必再修正,更准确的表述应该是,二阶微分方程的通解是两个复指数函数的组合。

还是一阶方程的套路,利用特征方程求出p1,p2,再利用初始值求出A1,A2。虚指数函数,不是实函数,不能作为求解的最终结果,利用欧拉公式进行变换,得到(负)实指数函数与正弦函数的乘积,上面的衰减振荡波型得到了应证。


  然而,新问题又出现了。在两个相等实根的情况下,A1,A2系数解不出来。好吧,是该适时翻翻书的时候了,书上说了,这时可以利用上述两种情况,用求极限的方式求出解的形式。总之:

前面讨论了二阶电路的零输入响应,应用二阶常系数齐次微分方程求解的过程的来龙去脉。关于零状态响应和全响应,应用非齐微分方程求解时,按照:”一般解=特解+通解“ 的形式求解。  

后记

《高等数学》对于后续课程的基础性地位是毋庸置疑的。例如《电路》中的二阶动态电路的分析,涉及的概念和公式较多、计算量大,一直以来是教学中的一大难点。有的同学说,因为我没有把高数学扎实,特别是其中的微分方程就没有搞懂,所以根本学不懂二阶动态电路。但其实,你也可以反过来想一下,你现在把二阶电路弄明白,然后回过头去再看看当初学的微分方程,其实也并不难嘛。反思我们的数学学习经历,严谨有余,直观不足,是当前数学教学中的普遍问题。

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